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Definición de series numéricas

por Nleanny

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Cuenta eliminada respondió
Una serie es un tipo particular de sucesión, que denotaremos con S[n] construida a partir de otra sucesión que denotamos con a[n] del siguiente modo: S[n] es la suma de los términos de la sucesión a[n] desde k=1hasta k=n.sum(sucesión,variable,término inicial,término final);
 /* Ejemplo 1*/ a[n]:=1/n $ S[n]:=sum(a[k],k,1,n)$ makelist([n,a[n],S[n]],n,1,5);produce los 5 primeros términos de las sucesiones a[n] y S[n], como puede verse en la ventana superior de xMaxima.El valor a[n] se llama término general de la serie y el valor S[n] se llama la suma n-ésima de la serie. La serie se dice convergente si existe el límite de la sucesión S[n] y el valor de dicho límite se conoce con el nombre de suma de la serie.Es sencillo darse cuenta de que para que una serie pueda ser convergente el término general de la misma ha de tener límite cero, pues de ser dicho límite un número a no nulo, el límite del término general, la suma de la serie sería más infinito si a>0 o menos infinito si a<0, ya que cuando n es «muy grande» casi todos los términos a[n] tienen un valor cercano al valor a. En cambio cuando a=0 puede ser que la serie converja o no. Para convencerse de ello compruebe que la sucesión S[n] del Ejemplo 1 es monótona creciente (lo cual es evidente) sin que aparentemente (y así es en realidad) esté acotada superiormente: vaya dando valores cada vez más grandes a n. En cambio si hace lo mismo con el Ejemplo 2 y comprobará experimentalmente que la sucesión S[n] nunca supera el valor 2./* Ejemplo 2*/ kill(all)$ a[n]:=1/n^2 $ S[n]:=sum(a[k],k,1,n)$ lista:makelist([n,float(S[n])],n,1,20);esto garantiza que el límite existe y es finito y se podrían obtener aproximaciones del valor del límite. El grafismo también sirve de ayuda.plot2d([discrete,lista]);En principio, para calcular el valor de la suma de la serie es necesario obtener una fórmula «razonable» para la suma n-ésima a fin de poder tomar el límite. Pero esto, salvo en casos muy particulares, no es sencillo. No lo es, en ninguno de los ejemplos anteriores (trate de hacerlo a mano). Y, por tanto, tampoco lo es para Maxima.sum(1/k,k,1,n); sum(1/k^2,k,1,n); sum(1/k^2,k,1,inf); En realidad Maxima tiene memorizado el valor de la suma de la serie del Ejemplo 2, como se muestra en el código que viene a continuación en el que con carácter local se asigna el valor true a la variable simpsum que permite expresar, en algunos casos, el valor de la suma de forma simplificada.sum(1/n^2,n,1,inf),simpsum; %,numer; El valor %pi^2/6 se obtiene por un procedimiento indirecto: Maxima sólo conoce el resultado final, pero no las sumas n-ésimas.sum(1/n^2,n,1,m),simpsum;
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