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Como se halla el dominio y rango de una funcion tanto polinomica como racional y radical

Como se halla el dominio y rango de una funcion tanto polinomica como racional y radical

por Danlopez

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Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas.

  Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:

FUNCIONES POLINÓMICAS:

  Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)= 3x5- 8x + 1;   D(f) = R g(x)= 2x + 3;   D(g) = R h(x)=½ ;   D(h) = R FUNCIONES RACIONALES:

  Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,..., xn. Por ejemplo:
I)Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3  y   x2 = -3.
         Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

II)  Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.
     
        Por lo tanto D(f) = R.

FUNCIONES IRRACIONALES:

  Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:

I)    Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1;            

                                x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, +).
                                    
            Por lo tanto D(f) = [-1, +).

II)Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0; R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. 

                                                                                Por lo tanto D(g) = (-, -5] U [+5, +)

III)Resolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observad que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. 
¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4.
R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio:
                                                            D(h) = (-, -2) U (+4, +)     (observad los extremos excluidos).

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