7/2+1/6+1/12+.........+1/n al cuadrado+n determinar la suma como es?

Hola:

Bueno, empecemos.

Nos percatamos que esa sumatoria empieza de n= 2, entonces haremos lo siguiente, le sumaremos n=1 y lo restaremos que daría así:

7/2 + ( 1/2 - 1/2 ) + 1/6 +1/12 + 1/20 ...

7/2 - 1/2 + 1/2 +1/6 +1/12 +1/20 ...

3 + 1/2 +1/6 +1/12 +1/20 ...

Acá no detemos un rato, supondré que tienes amplios conocimientos en sumatoría y límites.

3 + E ( n =1 hasta n= inf)   ( 1/((n^2) +n) )

E : sumatoria

3 + E ( n =1 hasta n= inf)   ( 1/(n(n+1))

3 + E ( n =1 hasta n= inf)   ( (n+1 - n)/ n(n+1) )

Dividimos a cada miembro entre el denominador

3 + E ( n =1 hasta n= inf)   ( (1/n)   -    (1/n+1) )

Reemplazando

3 + ( (1/1 - 1/1+1)  + ( 1/2  - 1/2+1) + ( 1/3  + 1/ 3+1 ) + ( 1/4  - 1/4+1) ...(1/inf + 1/inf +1)

3 + ( 1 -1/2) +(1/2  - 1/3) + ( 1/3 + 1/4) + ( 1/4 -1/5)... (1/n   + 1/n+1)

Ya que todos en serie se eliminan, nos quedaría el primero y el último.

3 + 1 - (1/ n+1)

Pero n en el último término es inf. eso quiere de cir que 1 entre un número muy muy grande es cero.

3+1 = 4

Esa suma vale 4